светла

Квадратни неравенства

Урок по математика за 9. клас
По идея на Валя Витковска  ·  с Claude
1Графика и знак на f(x)

Нека разгледаме графиката на $f(x) = ax^2 + bx + c$ в координатна система.

Всяка точка от параболата има координати $(x,\, y)$, където $y = f(x)$.

▲ Над абсцисната ос — ординатата е положителна ($y > 0$).

▼ Под абсцисната ос — ординатата е отрицателна ($y < 0$).

● На абсцисната ос — $y = 0$. Това са корените.

Ключова идея: Решението на $f(x) > 0$ са тези $x$, за които параболата е над абсцисната ос.
x y x₁ x₂ y > 0 y > 0 y < 0
$a > 0,\; D > 0$ — парабола с два корена
2Интерактивна парабола
f(x) = x² − 4
D = 16 a = 1 > 0
y > 0 y < 0 x
⚠ a = 0 — не е квадратна функция. Избери a ≠ 0.
Дискриминанта: D = b² − 4ac = 16
Корени: x₁ = −2, x₂ = 2
Случай:
$a$1
⚠ a не може да е 0!
$b$0
$c$−4
f(x) > 0 — над оста
f(x) < 0 — под оста
3Всички положения на параболата
$D > 0$Два различни корена $D = 0$Двоен корен $D < 0$Без реални корени
$a > 0$ + − + | y < 0 между x₁ и x₂ + + | y = 0 само при x₀ + | y > 0 за всички x
$a < 0$ − + − | y > 0 между x₁ и x₂ − − | y = 0 само при x₀ − | y < 0 за всички x
Правило: Знакът на f(x) съвпада със знака на a навън от корените. Между двата корена знакът е обратен на знака на a.
4Алгоритъм за решаване
1
Намери дискриминантата$D = b^2 - 4ac$
2
Намери корените (ако D ≥ 0)$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
3
Определи знака на a
a > 0 → парабола нагоре (∪)  |  a < 0 → парабола надолу (∩)
4
Запиши решението
Избери интервалите над / под оста спрямо знака на неравенството.
5Примери
$x^2 - 5x + 6 > 0$▼
  • $D = 25 - 24 = 1 > 0$
  • $x_1 = 2,\quad x_2 = 3$
  • $a = 1 > 0$ → y > 0 извън корените
$x \in (-\infty,\, 2) \cup (3,\, +\infty)$
$x^2 - 5x + 6 < 0$▼
  • $D = 1 > 0,\quad x_1 = 2,\quad x_2 = 3$
  • $a = 1 > 0$ → y < 0 между корените
$x \in (2,\, 3)$
$2x^2 - 7x + 3 \ge 0$▼
  • $D = 49 - 24 = 25 > 0$
  • $x_1 = \tfrac{1}{2},\quad x_2 = 3$
  • $a = 2 > 0$, нестрого ≥ 0 → извън и включваме корените
$x \in \left(-\infty,\, \tfrac{1}{2}\right] \cup \left[3,\, +\infty\right)$
$x^2 - 4x + 4 > 0$▼
  • $D = 0$ → двоен корен $x_0 = 2$. $f(x) = (x-2)^2$
  • $(x-2)^2 > 0$ за всички $x \ne 2$
$x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$
$x^2 - 4x + 4 \le 0$▼
  • $D=0,\ x_0=2$. $(x-2)^2 \ge 0$ навсякъде, равно на 0 само при $x=2$
  • Търсим $\le 0$ → само при $x=2$
$x = 2$
$x^2 + x + 1 > 0$▼
  • $D = 1 - 4 = -3 < 0$ → няма реални корени
  • $a = 1 > 0$ → парабола изцяло над оста
$x \in \mathbb{R}$
$x^2 + x + 1 < 0$▼
  • $D = -3 < 0$, $a > 0$ → парабола над оста → никога отрицателна
$\varnothing$ (няма решение)
$-x^2 + 4x - 3 > 0$▼
  • $D = 16 - 12 = 4 > 0,\quad x_1 = 1,\quad x_2 = 3$
  • $a = -1 < 0$ → y > 0 между корените
$x \in (1,\, 3)$
$-x^2 + 4x - 3 \le 0$▼
  • $D=4,\ x_1=1,\ x_2=3$. $a < 0$ → y ≤ 0 извън корените (включваме ги)
$x \in (-\infty,\, 1] \cup [3,\, +\infty)$
$-x^2 + 2x - 1 \ge 0$▼
  • $D=0,\ x_0=1$. $f(x) = -(x-1)^2 \le 0$ навсякъде; = 0 само при $x=1$
  • Търсим ≥ 0 → само при $x=1$
$x = 1$
$-x^2 - x - 1 < 0$▼
  • $D = 1-4 = -3 < 0$, $a < 0$ → парабола под оста → y < 0 навсякъде
$x \in \mathbb{R}$
$-x^2 - x - 1 > 0$▼
  • $D=-3 < 0$, $a < 0$ → парабола под оста → никога положителна
$\varnothing$ (няма решение)
6Практика — реши неравенство
✏️
Въведи данните си
Попълни формата и натисни „Започни"
7Обобщена таблица — всички решения
$a$ $D$ Ситуация Решение на неравенството
> 0< 0≥ 0≤ 0
a>0D>0 x₁ < x₂, ∪ (-∞,x₁)∪(x₂,+∞) (x₁,x₂) (-∞,x₁]∪[x₂,+∞) [x₁,x₂]
a>0D=0 двоен x₀, ∪ ℝ\{x₀} ∅ ℝ {x₀}
a>0D<0 без корени, ∪ над оста ℝ ∅ ℝ ∅
a<0D>0 x₁ < x₂, ∩ (x₁,x₂) (-∞,x₁)∪(x₂,+∞) [x₁,x₂] (-∞,x₁]∪[x₂,+∞)
a<0D=0 двоен x₀, ∩ ∅ ℝ\{x₀} {x₀} ℝ
a<0D<0 без корени, ∩ под оста ∅ ℝ ∅ ℝ
Легенда: ℝ = всички реални  |  ∅ = няма решение  |  извън корените  |  между корените  |  само корена
При нестрого (≥ или ≤) корените се включват. При строго (> или <) — не се включват.