Квадратни неравенства

1Графика и знак на f(x)

Нека разгледаме графиката на $f(x) = ax^2 + bx + c$ в координатна система.

Всяка точка от параболата има координати $(x,\, y)$, където $y = f(x)$.

▲ Над абсцисната ос — ординатата е положителна ($y > 0$).

▼ Под абсцисната ос — ординатата е отрицателна ($y < 0$).

● На абсцисната ос — $y = 0$. Това са корените.

Ключова идея: Решението на $f(x) > 0$ са тези $x$, за които параболата е над абсцисната ос.

$a > 0,\; D > 0$ — парабола с два корена

2Интерактивна парабола

f(x) = x² − 4

D = 16 a = 1 > 0

⚠ a = 0 — не е квадратна функция. Избери a ≠ 0.

Дискриминанта:D = b² − 4ac = 16

Корени:x₁ = −2, x₂ = 2

Случай:

$a$1

⚠ a не може да е 0!

$b$0

$c$−4

f(x) > 0 — над оста

f(x) < 0 — под оста

3Всички положения на параболата

	$D > 0$Два различни корена	$D = 0$Двоен корен	$D < 0$Без реални корени
$a > 0$	+ − + \| y < 0 между x₁ и x₂	+ + \| y = 0 само при x₀	+ \| y > 0 за всички x
$a < 0$	− + − \| y > 0 между x₁ и x₂	− − \| y = 0 само при x₀	− \| y < 0 за всички x

Правило: Знакът на f(x) съвпада със знака на a навън от корените. Между двата корена знакът е обратен на знака на a.

4Алгоритъм за решаване

Намери дискриминантата$D = b^2 - 4ac$

Намери корените (ако D ≥ 0)$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Определи знака на a
a > 0 → парабола нагоре (∪) | a < 0 → парабола надолу (∩)

Запиши решението
Избери интервалите над / под оста спрямо знака на неравенството.

5Примери

$x^2 - 5x + 6 > 0$▼

$D = 25 - 24 = 1 > 0$
$x_1 = 2,\quad x_2 = 3$
$a = 1 > 0$ → y > 0 извън корените

$x \in (-\infty,\, 2) \cup (3,\, +\infty)$

$x^2 - 5x + 6 < 0$▼

$D = 1 > 0,\quad x_1 = 2,\quad x_2 = 3$
$a = 1 > 0$ → y < 0 между корените

$x \in (2,\, 3)$

$2x^2 - 7x + 3 \ge 0$▼

$D = 49 - 24 = 25 > 0$
$x_1 = \tfrac{1}{2},\quad x_2 = 3$
$a = 2 > 0$, нестрого ≥ 0 → извън и включваме корените

$x \in \left(-\infty,\, \tfrac{1}{2}\right] \cup \left[3,\, +\infty\right)$

$x^2 - 4x + 4 > 0$▼

$D = 0$ → двоен корен $x_0 = 2$. $f(x) = (x-2)^2$
$(x-2)^2 > 0$ за всички $x \ne 2$

$x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$

$x^2 - 4x + 4 \le 0$▼

$D=0,\ x_0=2$. $(x-2)^2 \ge 0$ навсякъде, равно на 0 само при $x=2$
Търсим $\le 0$ → само при $x=2$

$x = 2$

$x^2 + x + 1 > 0$▼

$D = 1 - 4 = -3 < 0$ → няма реални корени
$a = 1 > 0$ → парабола изцяло над оста

$x \in \mathbb{R}$

$x^2 + x + 1 < 0$▼

$D = -3 < 0$, $a > 0$ → парабола над оста → никога отрицателна

$\varnothing$ (няма решение)

$-x^2 + 4x - 3 > 0$▼

$D = 16 - 12 = 4 > 0,\quad x_1 = 1,\quad x_2 = 3$
$a = -1 < 0$ → y > 0 между корените

$x \in (1,\, 3)$

$-x^2 + 4x - 3 \le 0$▼

$D=4,\ x_1=1,\ x_2=3$. $a < 0$ → y ≤ 0 извън корените (включваме ги)

$x \in (-\infty,\, 1] \cup [3,\, +\infty)$

$-x^2 + 2x - 1 \ge 0$▼

$D=0,\ x_0=1$. $f(x) = -(x-1)^2 \le 0$ навсякъде; = 0 само при $x=1$
Търсим ≥ 0 → само при $x=1$

$x = 1$

$-x^2 - x - 1 < 0$▼

$D = 1-4 = -3 < 0$, $a < 0$ → парабола под оста → y < 0 навсякъде

$x \in \mathbb{R}$

$-x^2 - x - 1 > 0$▼

$D=-3 < 0$, $a < 0$ → парабола под оста → никога положителна

$\varnothing$ (няма решение)

6Практика — реши неравенство

💡 Приемат се всички еквивалентни форми на отговора!
Например за решение „всички x освен x₀" може да пишете:
x ∈ ℝ \ {2} или x ∈ (−∞, 2) ∪ (2, +∞) или x ≠ 2
За ℝ: x ∈ ℝ или x ∈ (−∞, +∞) · За обединение: редът на частите няма значение.

✏️

Въведи данните си

Попълни формата и натисни „Започни"

7Обобщена таблица — всички решения

$a$	$D$	Ситуация	Решение на неравенството
$a$	$D$	Ситуация	> 0	< 0	≥ 0	≤ 0
a>0	D>0	x₁ < x₂, ∪	(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)	(x₁,x₂)	(-∞,x₁]∪[x₂,+∞)	[x₁,x₂]
a>0	D=0	двоен x₀, ∪	ℝ\{x₀}	∅	ℝ	{x₀}
a>0	D<0	без корени, ∪ над оста	ℝ	∅	ℝ	∅
a<0	D>0	x₁ < x₂, ∩	(x₁,x₂)	(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)	[x₁,x₂]	(-∞,x₁]∪[x₂,+∞)
a<0	D=0	двоен x₀, ∩	∅	ℝ\{x₀}	{x₀}	ℝ
a<0	D<0	без корени, ∩ под оста	∅	ℝ	∅	ℝ

Легенда: ℝ = всички реални | ∅ = няма решение | извън корените | между корените | само корена
При нестрого (≥ или ≤) корените се включват. При строго (> или <) — не се включват.

	$D > 0$Два различни корена	$D = 0$Двоен корен	$D < 0$Без реални корени
$a > 0$	+ − + \| y < 0 между x₁ и x₂	+ + \| y = 0 само при x₀	+ \| y > 0 за всички x
$a < 0$	− + − \| y > 0 между x₁ и x₂	− − \| y = 0 само при x₀	− \| y < 0 за всички x